(苦读书 www.kudushu.org) 《 线段相等，角相等，线段垂直》方法总结
一.证明线段相等的方法：
1.中点
2.等式的性质 性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b
那么有a+c=b+c
性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等
若a=b
那么有a·c=b·c
或a÷c=b÷c （a,b≠0 或 a=b ，c≠0）
.利用角平分线的定义 如图，已知AB=AC，AD//BC，求证
2、基本图形“双垂直”，与的面积相等．求证：OP平分． 例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线． 利用等腰三角形三线合一 例.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分DAE。
.利用定理 定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 例.如图，已知ΔABC的两个外角MAC、NCA的平分线相交于点P，求证点P在B的平分线上。 .和平行线结合使用，容易得到相等的线段。 基本图形：
P是CAB的平分线上一点，PDAB，则有1=∠2=∠3，所以AD=DP。 例.如图，ΔABC中，B的平分线与C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
.利用角平分线的对称性。 例.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合 （1）求证：BE=CF．
《 线段相等，角相等，线段垂直》经典例题
（解答部分）
一、平分线的应用。 几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。这个条件一般有下面几个方面的应用： （1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。 （2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。 （3）构造等腰三角形。 二、应用举例： 1.利用角平分线的定义 如图，已知AB=AC，AD//BC，求证AD平分EAC。 证明：因AB=AC，故B=∠C。 又因AD//BC，故1=∠B，2=∠C， 故1=∠2，即AD平分EAC。 2、基本图形“双垂直”，与的面积相等．求证：OP平分． 分析：观察已知条件中提到与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。 证明：作于M，于N ，，且 又 又 平分 例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线． 分析: 在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了，由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定”AE为角平分线。 证明：作于F 平分，， 又 E是BC的中点 又， AE是的平分线 利用等腰三角形三线合一 例.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分DAE。
证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDGΔFCE， 故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。 又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分DAE。 .利用定理 定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 例.如图，已知ΔABC的两个外角MAC、NCA的平分线相交于点P，求证点P在B的平分线上。 证明：过P作PDAB，PEAC，PFBC，垂足分别是D、E、F， 因P在MAC的平分线上，故PD=PE。 又因P在ACN的平分线上，故PE=PF，于是PD=PF， 故点P在B的平分线上。 .和平行线结合使用，容易得到相等的线段。 基本图形：
P是CAB的平分线上一点，PDAB，则有1=∠2=∠3，所以AD=DP。 例.如图，ΔABC中，B的平分线与C外角的平分线苦读书 www.kudushu.org
一.证明线段相等的方法：
1.中点
2.等式的性质 性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b
那么有a+c=b+c
性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等
若a=b
那么有a·c=b·c
或a÷c=b÷c （a,b≠0 或 a=b ，c≠0）
.利用角平分线的定义 如图，已知AB=AC，AD//BC，求证
2、基本图形“双垂直”，与的面积相等．求证：OP平分． 例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线． 利用等腰三角形三线合一 例.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分DAE。
.利用定理 定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 例.如图，已知ΔABC的两个外角MAC、NCA的平分线相交于点P，求证点P在B的平分线上。 .和平行线结合使用，容易得到相等的线段。 基本图形：
P是CAB的平分线上一点，PDAB，则有1=∠2=∠3，所以AD=DP。 例.如图，ΔABC中，B的平分线与C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
.利用角平分线的对称性。 例.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合 （1）求证：BE=CF．
《 线段相等，角相等，线段垂直》经典例题
（解答部分）
一、平分线的应用。 几何题中，经常出现“已知角的平分线”这一条件。这个条件一般有下面几个方面的应用： （1）利用“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的性质，证明两条线段相等。 （2）利用角是轴对称图形，构造全等三角形。 （3）构造等腰三角形。 二、应用举例： 1.利用角平分线的定义 如图，已知AB=AC，AD//BC，求证AD平分EAC。 证明：因AB=AC，故B=∠C。 又因AD//BC，故1=∠B，2=∠C， 故1=∠2，即AD平分EAC。 2、基本图形“双垂直”，与的面积相等．求证：OP平分． 分析：观察已知条件中提到与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。 证明：作于M，于N ，，且 又 又 平分 例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线． 分析: 在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了，由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定”AE为角平分线。 证明：作于F 平分，， 又 E是BC的中点 又， AE是的平分线 利用等腰三角形三线合一 例.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分DAE。
证明：连结EF并延长，交AD的延长线于G，则ΔFDGΔFCE， 故CE=DG，EF=GF，于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。 又因EF=GF，故AF是等腰三角形的底边上的中线，于是AF平分DAE。 .利用定理 定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 例.如图，已知ΔABC的两个外角MAC、NCA的平分线相交于点P，求证点P在B的平分线上。 证明：过P作PDAB，PEAC，PFBC，垂足分别是D、E、F， 因P在MAC的平分线上，故PD=PE。 又因P在ACN的平分线上，故PE=PF，于是PD=PF， 故点P在B的平分线上。 .和平行线结合使用，容易得到相等的线段。 基本图形：
P是CAB的平分线上一点，PDAB，则有1=∠2=∠3，所以AD=DP。 例.如图，ΔABC中，B的平分线与C外角的平分线苦读书 www.kudushu.org
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